首先，我们需要明确排列与组合的区别。排列指的是从n个不同元素中选取m个元素按照一定的顺序进行排列，而组合则是从n个不同元素中选取m个元素，不考虑顺序。
排列的定义及公式
从n个不同元素中，任取m个不同的元素按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列的数目称为排列数，用符号A(n, m)表示。计算公式为：
A(n, m) = n! / (n - m)!，其中 ! 表示阶乘，即一个数下所有正整数的乘积。
组合的定义及公式
从n个不同元素中，任取m个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合的数目称为组合数，用符号C(n, m)表示。计算公式为：
C(n, m) = n! / [m! (n - m)!]。
值得注意的是，组合数C(n, m)还可以用另一种形式表示：C(n, m) = C(n, n - m)，这是因为选取的元素和剩余的元素是互斥的。
基本性质
1. A(n, n) = n!，即从n个不同元素中取出n个元素的排列数等于n的阶乘。
2. C(n, 0) = 1，即从n个元素中选取0个元素的组合数为1。
3. C(n, m) = C(n, n - m)（已提及）。
循环排列
从n个元素中取出m个元素的循环排列数（即排列的首尾相连形成的环状排列）为A(n, m) / m，这是因为首尾相连的排列实际上只有m个不同的顺序。
分组排列
若将n个元素分为k组，每组的个数分别为n1, n2, ..., nk，则这n个元素的全排列数为n! / (n1! n2! ... nk!)。
有限制条件的排列与组合
在实际问题中，往往存在一些特殊的限制条件，如某些元素不能相邻、某些元素的顺序固定等。解决这类问题通常需要先处理特殊条件，再处理一般条件，或者将问题转化为其他类型的问题求解。
例如，在求解从1到9共计9个号码球组成的三位数的个数时，如果要求三个号码球可以在任意位置，则需要考虑每个位置的可能性。百位数有9种可能，十位数有8种可能（因为不能为百位数），个位数有7种可能（排除了百位数和十位数）。因此，总共有9 8 7个不同的三位数。
总之，高中数学中的排列组合公式是解决离散数学问题的基础工具，熟练掌握这些公式及其应用对于提高逻辑思维能力和解决实际问题能力具有重要意义。